Le résultat fondamental, dû à Montel, sur les familles normales, s’énonce :

 

Théorème [Montel] : Si des fonctions holomorphes, définies sur un ouvert U, sont uniformément bornées sur les compacts de U, alors elles forment une famille normale.

 

Montel en déduit, en utilisant la théorie des transformations du plan qui préservent les angles (les transformations conformes), un autre critère qui permet d’appliquer ses résultats à de nombreux problèmes.

 

Théorème [Montel] : Une famille de fonctions analytiques sur un ouvert qui évitent toutes deux valeurs fixées est normale.

 

Une preuve simple du théorème de Picard donne une belle illustration de ces résultats.

 

Théorème [Picard] : Une fonction holomorphe f dans le plan complexe prend toutes les valeurs complexes, sauf peut-être une.

 

 

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L’idée de la preuve de Montel est d’étudier la suite de fonctions z ->f(nz), qui prend les mêmes valeurs que f. Ses théorèmes montrent que cette suite est normale et des arguments classiques permettent de conclure.

 

Rappelons qu’un polynôme complexe non constant a toujours au moins une racine : de façon équivalente, les polynômes complexes non constants prennent toujours toutes les valeurs complexes possibles. La fonction exponentielle, par contre, prend toutes les valeurs complexes sauf 0. Le théorème de Picard montre que toutes les fonctions holomorphes non constantes se comportent toujours comme un de ces deux exemples.

 

 

On pourra consulter M. Audin, « Fatou, Julia, Montel », Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2011, pour plus de détails sur ces idées et les mathématiques de Montel.